E-Academia
facebook Jsme na facebooku Přihlásit se | Registrovat se

Zápis na všechny kurzy, přednášky a testy je od 1.3.2017 zcela ZDARMA!

Řešení maturitního didaktického testu z matematiky - ilustrační test - jaro 2015


Autorem zadání testových úloh je Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání.


Autorem řešení je E-Academia.

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1
Řešení:
Sečteme část $A$ a $B$ a odečteme ten kus, který je obsažen v obou částech, aby nebyl započten dvakrát. Z obrázku je zřejmé, že část, která je společná v $A$ i $B$ tvoří dvě pětiny části $A$. Vydlážděnou část tedy můžeme zapsat jako $$V = A+B-\frac{2}{5}A$$ Pokud si celkovou plochu podlahy označíme jako $x$, můžeme za $A$ dosadit $\frac{1}{4}x$ a za $B$ dosadíme $\frac{2}{5}x$. Po dosazení dostaneme $$V = \frac{1}{4}x + \frac{2}{5}x - \frac{2}{5}\cdot\frac{1}{4}x$$ Zlomky teď můžeme upravit a sečíst $$V = \frac{1}{4}x + \frac{2}{5}x - \frac{2}{5}\cdot\frac{1}{4}x = \frac{1}{4}x + \frac{2}{5}x - \frac{1}{10}x = \frac{5+8-2}{20}x = \frac{11}{20}x$$ Vydlážděnou část kuchyně tedy můžeme zapsat jako $\frac{11}{20}$.
Řešení:
Výraz bude mít smysl, pokud nebudeme dělit nulou, to znamená, že ve jmenovateli prvního zlomku nesmí být nula, tím dostáváme první podmínku $$c\neq 0$$ a celý druhý zlomek nesmí být roven nule, protože tímto celým zlomkem dělíme. Tím dostáváme druhou podmínku $$\frac{c+1}{6}\neq 0$$ a tato podmínka bude splněná pokud $$c\neq -1$$ Výraz má tedy smysl pro všechna reálná čísla kromě nuly a mínus jedničky, což můžeme zapsat jako $$c\in{\mathbb R}\setminus\{-1,\,0\}$$
Řešení 3.1:
Výrazy pod odmocninou se násobí, takže můžeme exponenty sečíst a čísla vynásobit $$\sqrt{4n^{5}\cdot 9n^{5}} = \sqrt{36\cdot n^{10}}$$ Teď můžeme odmocnit číslo 36 $$\sqrt{4n^{5}\cdot 9n^{5}} = \sqrt{36\cdot n^{10}} =6\cdot\sqrt{n^{10}}$$ Odmocninu můžeme přepsat pomocí exponentu $\frac{1}{2}$ $$\sqrt{4n^{5}\cdot 9n^{5}} = \sqrt{36\cdot n^{10}} =6\cdot\sqrt{n^{10}}=6\cdot \left(n^{10}\right)^{\frac{1}{2}}$$ Exponenty můžeme vynásobit $$\sqrt{4n^{5}\cdot 9n^{5}} = \sqrt{36\cdot n^{10}} =6\cdot\sqrt{n^{10}}=6\cdot \left(n^{10}\right)^{\frac{1}{2}} = 6\cdot n^{\frac{10}{2}} = 6\cdot n^{5}$$
Řešení 3.2:
Z výrazu pod odmocninou vytkneme $y^{16}$ $$\sqrt{4\cdot 4y^{16} + 9y^{16}} = \sqrt{y^{16}\left(16+9\right)} = \sqrt{25\cdot y^{16}}$$ Stejným způsobem jako v minulém příkladě nejprve odmocníme 25 a potom přepíšeme odmocninu pomocí exponentu $$\sqrt{4\cdot 4y^{16} + 9y^{16}} = \sqrt{y^{16}\left(16+9\right)} = \sqrt{25\cdot y^{16}} = 5\cdot\sqrt{y^{16}} = 5\cdot\left(y^{16}\right)^{\frac{1}{2}} = 5\cdot y^{\frac{16}{2}} = 5\cdot y^{8}$$
Řešení:
Nejprve sečteme výrazy v kulaté závorce $$a^{2}\left[\frac{1}{a}-\left(1-\frac{2}{a}\right)\right]^{2} = a^{2}\left[\frac{1}{a}-\left(\frac{a-2}{a}\right)\right]^{2}$$ Teď můžeme kulatou závorku odstranit a sečíst výrazy v hranaté závorce $$a^{2}\left[\frac{1}{a}-\left(1-\frac{2}{a}\right)\right]^{2} = a^{2}\left[\frac{1}{a}-\left(\frac{a-2}{a}\right)\right]^{2} = a^{2}\left[\frac{1-a+2}{a}\right]^{2} = a^{2}\left[\frac{3-a}{a}\right]^{2}$$ Nyní umocníme hranatou závorku a uděláme to tak, že umocníme čitatele zvlášť a jmenovatele zvlášť $$a^{2}\left[\frac{1}{a}-\left(1-\frac{2}{a}\right)\right]^{2} = a^{2}\left[\frac{1}{a}-\left(\frac{a-2}{a}\right)\right]^{2} = a^{2}\left[\frac{1-a+2}{a}\right]^{2} = a^{2}\left[\frac{3-a}{a}\right]^{2} = a^{2}\frac{\left(3-a\right)^{2}}{a^{2}} $$ Teď můžeme zkrátit $a^{2}$ a zbyde nám jenom čitatel, který můžeme umocnit $$a^{2}\left[\frac{1}{a}-\left(1-\frac{2}{a}\right)\right]^{2} = a^{2}\left[\frac{1}{a}-\left(\frac{a-2}{a}\right)\right]^{2} = a^{2}\left[\frac{1-a+2}{a}\right]^{2} = a^{2}\left[\frac{3-a}{a}\right]^{2} = a^{2}\frac{\left(3-a\right)^{2}}{a^{2}} = \left(3-a\right)^{2} = 9-6a+a^{2}$$
Řešení:
V druhé rovnici máme zlomky, takže nejprve stanovíme podmínky existence výrazů. Zlomky budou mít smysl, pokud jejich jmenovatele budou různé od nuly, takže pro první zlomek dostáváme podmínku $$1-y \neq 0$$ řešením této podmínky je $$y\neq 1$$ Pro druhý zlomek máme podmínku $$2x+1\neq 0$$ a jejím řešením je $$x\neq -\frac{1}{2}$$ Teď se můžeme pustit do řešení soustavy rovnic. První rovnice obsahuje pouze jednu neznámou $x$, takže ji můžeme přímo vyřešit a dosadit do druhé rovnice $$1-2x=1$$ $$-2x = 0$$ $$x=0$$ Vyšlo nám tedy, že $x$ je rovno nule, to teď dosadíme do druhé rovnice $$\frac{5}{1-y} - \frac{6}{1} = 0$$ Celou rovnici vynáobíme jmenovatelem $1-y$, abychom se zbavili zlomku $$5 - 6\left(1-y\right) = 0$$ Roznásobíme závorku $$5-6 + 6y = 0$$ $$-1+6y = 0$$ $$6y = 1$$ $$y = \frac{1}{6}$$ Řešení, které nám vyšlo je v souladu s podmínkami existence a můžeme ho tedy zapsat ve tvaru $${\mathcal K} = \{\left[0;\,\frac{1}{6}\right]\}$$
Řešení:
Nejprve stanovíme podmínky existence výrazu v rovnici. Jmenovatel se nesmí rovnat nule $$12x+9\neq 0$$ a z toho vyplývá, že $x$ se nesmí rovnat $-\frac{9}{12}=-\frac{3}{4}$, tedy $$x\neq -\frac{3}{4}$$ Teď když máme stanovené podmínky existence, tak můžeme jít rovnici řešit. Nejprve se zbavíme zlomku a to uděláme tak, že rovnici vynásobíme jmenovatelem $$12x +9 = \left(2x-3\right)^{2}$$ Závorku na pravé straně umocníme $$12x +9 = 4x^{2}-12x+9$$ Převedeme všechny členy na jednu stranu $$4x^{2}-24x = 0$$ Rovnici vydělíme čtyřma $$x^{2} - 6x = 0$$ Dostáváme kvadratickou rovnici, která bude mít dvě řešení. Z rovnice můžeme vytknout $x$ $$x\left(x-6\right) = 0$$ Z toho je jasné, že první kořen bude nula $$x_{1}=0$$ a druhé řešení dostaneme když položíme závorku rovnu nule $$x_{2} -6 = 0$$ a tedy $$x_{2} = 6$$ Oba kořeny $x_{1}$ a $x_{2}$ jsou v souladu s existenční podmínkou a jsou tedy řešením naší rovnice.
Řešení:
Musíme najít všechny úhly z intervalu od nuly do dvou $\pi$, pro které platí, že jejich sinus je jedna polovina. Když si nakreslíme jednotkovou kružnici, tak poznáme, že to jsou celkem dva úhly $$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$ $$x_{2} = \frac{5}{6}\pi$$ Hodnotu prvního řešení je dobré znát zpaměti, druhé řešení pak můžeme určit právě pomocí jednotkové kružnice.
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8
Řešení:
Ze zadání víme, že Eva nasbírá za hodinu celý kbelík, to znamená, že za jednu minutu nasbírá $\frac{1}{60}$ kbelíku. Pokud si celý kbelík označíme neznámou $x$, můžene napsat, že Eva za jednu minutu nasbírá $\frac{1}{60}x$. Její rychlost je tedy $$v_{1} = \frac{1}{60}\frac{x}{min}$$ Podobně víme, že Janek nasbírá celý kbelík za 90 minut a tedy za jednu minutu nasbírá $\frac{1}{90}x$. Jeho rychlost je tedy $$v_{2} = \frac{1}{90} \frac{x}{min}$$ Janek a Eva budou pracovat společně, takže jejich celkovou rychlost získáme tak, že sečteme jejich rychlosti $$v = v_{1} + v_{2} = \frac{1}{60}\frac{x}{min} + \frac{1}{90}\frac{x}{min} = \frac{1}{36} \frac{x}{min}$$ Nás teď zajímá za kolik minut nasbírají celý kbelík. Víme, že za jednu minutu nasbírají jednu třicetišestinu kbelíku, to znamená, že celý kbelík nasbírají za 36 minut.
Řešení:
Nerovnici vynásobíme jmenovatelem, abychom se zbavili zlomku. Jmenovatel je záporný, takže při násobení musíme otočit znaménko nerovnosti $$ 3-2x \gt -2x $$ Členy s neznámou $x$ se odečtou a vyjde nám $$3 \gt 0$$ Tato nerovnost je splněná a nezávisí na hodnotě neznámé $x$, to znamená, že nerovnice má řešení pro všechna reálná čísla $$x\in {\mathbb R}$$
VÝCHOZÍ TEXT A GRAF K ÚLOZE 10
Řešení:
Z obrázku můžeme určit souřadnice dvou bodů, kterými přímka určitě prochází. Body si můžeme označit jako $P$, $Q$, $$P = \left[0;\,1\right]$$ $$Q = \left[3;\,3\right]$$ Pomocí těchto dvou bodů můžeme určit směrový vektor přímky $$\vec{u} = \left(\vec{Q} - \vec{P}\right) = \left(3-0;\, 3-1\right) = \left(3;\, 2\right)$$ Pomocí směrového vektoru a bodu $P$ můžeme napsat parametrické rovnice naší přímky $p$ $$x = 3t,$$ $$y=1+2t$$ Abychom určili y-ovou souřadnici bodu $A$, dosadíme jeho x-ovou souřadnici do první rovnice za $x$ a vypočítáme hodnotu parametru $t$ $$6 = 3t \quad\quad => \quad\quad t = 2$$ Teď už stačí dosadit za $t$ do druhé rovnice $$y = 1+2\cdot 2 = 5$$ Bod $A$ má tedy souřadnice $$A = \left[6;\, 5\right]$$
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 11
Řešení:
Pro objem válce platí vzoreček $$V = S_{p}v,$$ kde $S_{p}$ je obsah podstavy a $v$ je výška válce. Výšku máme zadanou a obsah podstavy si vypočítáme.

Osový řez válce je obdélník, který si označíme jako $S_{o}$. Jedna stana tohoto obdélníku je výška válce a druhá strana je průměr podstavy $d$. Pro $S_{o}$ platí $$S_{0} = v\cdot d$$ Z toho si můžeme vyjádřit průměr válce $$d = \frac{S_{o}}{v} = \frac{24}{4} = 6\,cm$$ Poloměr válce je polovina průměru $$r = \frac{6}{2} = 3\,cm$$ Pro obsah podstavy je kruh a platí pro něj vzoreček $$S_{p} = \pi r^{2}$$ Pro objem válce tedy dostáváme $$V = S_{p}v = \pi r^{2} v$$ Za výšku i za poloměr teď můžeme dosadit $$V = S_{p}v = \pi r^{2} v = \pi\cdot 3^{2}\cdot4 = 36\pi\,cm^{3}$$
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOHÁM 12-13
Řešení:
Nejprve si napíšeme vzoreček pro objem polokoule $$V_{k} = \frac{2}{3}\pi r^{3}$$ Dále si napíšeme vzoreček pro objem kužele $$V_{c} = \frac{1}{3}\pi r^{2}v,$$ kde $v$ je výška kužele a $r$ je poloměr jeho podstavy. Ze zadání víme že oba objemy jsou stejné, můžeme je tedy položit do rovnosti a ze vzniklé rovnice můžeme vyjádřit výšku $$V_{k} = V_{c}$$ $$\frac{2}{3}\pi r^{3} = \frac{1}{3}\pi r^{2} v$$ rovnici vynásobíme třema $$2\pi r^{3} = \pi r^{2}v$$ rovnici vydělíme $\pi$ $$2r^{3} = r^{2}v$$ rovnici vydělíme $r^{2}$ $$v=2r$$ Vyšel nám tedy vztah pro výšku v závislosti na poloměru.
Řešení:
Do vzorečku pro objem polokoule si dosadíme za objem $18\pi$ a vyjádříme ze vzniklé rovnice poloměr $$18\pi = \frac{2}{3}\pi r^{3}$$ rovnici vydělíme dvěma $$9\pi = \frac{1}{3}\pi r^{3}$$ rovnici vynásobíme třema $$27\pi = \pi r^{3}$$ rovnici vydělíme $\pi$ $$r^{3} = 27$$ uděláme třetí odmocninu $$r = 3\, cm$$
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 14
Řešení:
Z bodu $D$ spustíme kolmici na úsečku $AP$. Tato kolmice se protne s úsečkou v bodě, který si označíme $X$. Dostaneme tak trojúhelník $AXD$, který můžeme překlopit na opačnou stranu lichoběžníku, jak je nakresleno na obrázku níže.


Dostaneme tak obdélník $XBZD$, jehož obsah je stejný jako obsah původního lichoběžníku. Vzhledem k tomu, že trojúhelník APD je rovnoramenný, je délka úsečky $XP$ rovna $12\,cm$ a délka $XB$ je tedy $$|XB| = 18 +12 = 30\,cm$$ Obsah tohoto obdélníku vypočteme jako součin délek stran $XB$ a $XD$ $$S = |XD|\cdot |XB|$$ Délku strany $XD$ vypočítáme pomocí Pythagorovy věty z pravoúhlého trojúhelníku $AXD$ $$|XD| = \sqrt{20^{2} + 12^{2}} = \sqrt{256} = 16$$ Výsledný obsah ted bude $$S = |XD|\cdot |XB| = 30\cdot 16 = 480\, cm^{2}$$
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 15
Řešení:
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 16
Řešení 16.1:
Průnik intervalu A a B je interval od mínus dvojky do nuly, tedy $$A \cap B = \left(-2;\, 0\right. \rangle$$ Tvrzení 16.1 je tedy správně.

Řešení 16.2:
Sjednocení intervalu A a B je interval od mínus nekonečna do trojky, tedy $$A\cup B = \left(-\infty;\, 3\right)$$ Tvrzení 16.2 je tedy nepravdivé.

Řešení 16.3:
Průnik intervalu A a C je interval C, protože celý tento interval je obsažen v intervalu A. Tvrzení 16.3 je tedy nepravdivé.

Řešení 16.4:
Sjednocení intervalu B a C jsou všechna reálná čísla od mínus trojky po plus trojku (s tím, že mínus trojka do sjednocení patří, ale plus trojka ne). $$A\cup C = \left.\langle -3;\,3\right)$$ Tvrzení 16.4 je tedy nepravdivé, protože zahrnuje pouze celá čísla z daného intervalu.
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 17
Řešení:
Pro obsah obdélníku platí vzoreček $$S = a\cdot b$$ Stranu $b$ známe, ještě musíme vypočítat stranu $a$, což je ta strana, která sousedí s trojúhelníkem. K tomu použijeme sinovou větu $$\frac{c}{\sin\gamma} = \frac{a}{\sin\alpha}$$ Úhel proti straně $a$ si označíme jako $\alpha$, stranu, která měří $50m$ si označíme jako stranu $c$ a úhel proti této straně jako úhel $\gamma$. Ze sinové věty si vyjádříme stranu $a$, která nás zajíma $$a = \frac{\sin\alpha}{\sin\gamma}c$$ Abychom mohli do vzorečku dosadit musíme ještě určit velikost úhlu $\alpha$. To vypočítáme snadno, protože máme zadané další dva úhly a součet všech tří úhlů v trojúhelníku je dohromady 180°. Platí tedy $$\alpha = 180 - \left(50+30\right) = 100°$$ Teď už můžeme dosadit do vzorečku pro $a$ $$a = 50\cdot\frac{\sin 100}{\sin 50} = 64,278\,m$$ Nyní již můžeme dosadit do vzorečku pro obsah obdélníku $$S = a\cdot b = 64.278\cdot 30 = 1928,36\,m^{2} \approx 1928\,m^{2}$$
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 18
Řešení:
Zeď se skladá ze dvou stejných aritmetických posloupností, kde první prvek je nejmenší krychle s hranou 20 cm a poslední prvek je krychle s hranou 195 cm. Délku zdi můžeme vypočítat tak, že vypočítáme součet prvků jedné této posloupnosti, vynásobíme ho dvěma (protože posloupnosti jsou celkem dvě) a přičteme prostřední největší krychli. Diference aritmetické posloupnosti je 5, protože hrany sousedních krychlí se liší o 5 cm. Pro součet prvků aritmetické posloupnosti platí vzoreček $$S_{n} = \frac{n}{2}\left(a_{1} + a_{n}\right)$$ První prvek je roven $$a_{1} = 20$$ Poslední prvek $a_{n}$ je roven $$a_{n} = 195$$ Ještě musíme určit čem se rovná $n$, tedy jaký je počet prvků v posloupnosti, kterou budeme sčítat. To můžeme určit ze vzorečku pro entý člen $a_{n}$. Pro ten platí $$a_{n} = a_{1} + \left(n-1\right)d$$ Z tohoto vzorečku můžeme $n$ vyjádřit $$a_{n} - a_{1} = \left(n-1\right)d$$ Vydělíme $d$ $$\frac{a_{n}-a_{1}}{d} = n-1$$ přičteme jedničku $$n = 1+\frac{a_{n}-a_{1}}{d}$$ Do posledního vztahu teď můžeme dosadit $$n = 1+\frac{195 - 20}{5} = 36$$ A teď můžeme dosadit do vzorečku pro součet $$S_{n} = \frac{36}{2}\left(20 + 195\right) = 3870\, cm$$ Délku zdi získáme tak, že součet posloupnosti vynásobíme dvěma a přičteme prostřední krychli $$d = 2\cdot S_{n} + 200 = 7940 \,cm = 79,4\,m$$
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 19
Řešení:
Částku, kterou banka panu Novákovi půjčila si označíme neznámou $x$. Na konci prvního roku pan Novák dlužil $$x+0.1x$$ musíme totiž k půjčené částce přičíst deseti procentní úrok. Na konci druhého roku pan Novák dlužil $$x+0.1x + 0.1(x+0.1x)$$ musíme totiž vzít dluh na konci první roku a zvýšit ho o deset procent. Toto je tedy částka, kterou pan Novák po dvo letech spatil. Můžeme tedy napsat $$72600 = x+0.1x + 0.1(x+0.1x)$$ Dostáváme tak rovnici pro jednu neznámou. Na pravé straně můžeme roznásobit závorku a následně ze všech členů vytknout $x$ $$72600 = x+0.1x+0.1x+0.01x$$ $$72600 = x\left(1+0.1+0.1+0.01\right)$$ $$72600 = 1.21x$$ Teď už stačí vydělit 1.21 a dostaneme výsledek $$x = \frac{72600}{1.21} = 60000$$ Pan Novák si tedy od banky půjčil 60000 Kč.
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 20
Řešení:
Pro povrch krychle platí vzoreček $$S = 6a^{2}$$ Musíme tedy zjistit délku hrany krychle $a$. Ze zadání víme, že součet délek všech hran je 144cm. Krychle má celkem 12 stejných hran, takže pro délku jedné hrany dostaneme $$a = \frac{144}{12} = 12cm$$ To teď můžeme dosadit do vzorečku pro porch $$S = 6\cdot 12^{2} = 864\, cm^{2}$$
Řešení:
Pokud si nakreslíme trojúhelník takovým způsobem, že bod $B$ vložíme do počátku souřadného sytému a bude tedy mít souřadnice $B = [0;\,0]$, můžeme ze zadaných vektorů určit souřadnice bodů $A$ a $C$. Pokud budeme znát souřadnice obou bodů, můžeme pak vypočítat jejich vzdálenost, což bude právě hledaná délka strany $AC$.

Pro vektor $\vec{AB}$ platí $$\vec{AB} = \left(\vec{B}-\vec{A}\right)$$ Pro souřadnice bodu $A$ tedy dostaneme $$\vec{A} = \vec{B} - \vec{AB} = \left(0-\left(-1\right);\, 0-3\right) = \left(1;\, -3\right)$$ Tím jsme dostali souřadnice bodu $A$: $$A = \left[1;\, -3\right]$$ Stejným způsobem určíme souřadnice bodu $C$. Pro vektor $\vec{BC}$ platí $$\vec{BC} = \left(\vec{C}-\vec{B}\right)$$ Pro souřadnice bodu C dostaneme $$\vec{C} = \vec{BC} + \vec{B} = \left(6+0;\, 9+0\right) = \left(6;\,9\right)$$ Tím jsme dostali souřadnice bodu $C$: $$C = \left[6;\, 9\right]$$ Vzdálenost obou bodů vypočteme pomocí vzorečku $$d = \sqrt{\left(C_{1} - A_{1}\right)^{2} + \left(C_{2}-A_{2}\right)^{2}}$$ Dosazením souřadnic bodů do vzorečku dostaneme $$d = \sqrt{\left(6-1\right)^{2} + \left(9-\left(-3\right)\right)^{2}} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$ Délka strany $AC$ je tedy 13.
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 22
Řešení:
Musíme zjistit, kolikati způsoby můžeme sestavit první tři cifry kódu. Vzhledem k tomu, že zřejmě záleží na pořadí čísel v kódu (jiné pořadí je jiný kód) bude se jednat o variace třetí třídy z devíti prvků (číslice jsou nenulové, takže máme celkem 9 čísel, ze kterých budeme kódy sestavovat) Pro variace platí vrozeček $$V_{k}\left(n\right) = \frac{n!}{\left(n-k\right)!}$$ V našem případě tedy $$V_{3}\left(9\right) = \frac{9!}{\left(9-3\right)!} = \frac{9!}{6!} = \frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6!}{6!} = 9\cdot 8\cdot 7 = 504$$ Na čtvrté pozici bude vždy nejmenší z čísel, která jsou na prvních třech pozicích, ale to již nezmění počet možností. Počet možných kódů je tedy $504$.
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 23
Řešení:
Je celkem šest možností, jak může dopadnout výsledek na červené kostce a všechny možnosti jsou stejně pravěpodobné. Výsledek červené kostky není nijak ovlivněn tím, že se hází dvěm kostkami. Jsou celkem 4 možnosti, které vedou k tomu, že bude výsledek větší než 2 (jsou to možnosti 3, 4, 5, 6). Výsledná pravděpodobnost tedy bude $$P = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$
VÝCHOZÍ TEXT A GRAF K ÚLOZE 24
Řešení:
Nejprve si vypočítáme kolik žáků hlasovalo pro Vikingy na prvním stupni, potom vypočítáme kolik žáků hlasovalo pro Vikingy na druhém stupni a nakonec vypočte kolik procent je to z celkového počtu žáků, kteří se účastnili hlasování.

Na prvním stupni hlasovalo pro Vikingy 30% žáků ze 180. Kolik je to žáků vypočteme trojčlenkou $$x_{1} = \frac{30}{100}180 = 54$$ čili na prvním stupni hlasovalo pro Vikingy 54 žáků. Stejným způsobem použijeme trojčlenku a vypočítáme kolik žáků hlasovalo pro Vikingy na druhém stupni (10% ze 120): $$x_{2} = \frac{10}{100}120 = 12$$ Na druhém stupni tedy hlasovalo pro Vikingy 12 žáků.

Celkem na základní škole pro Vikingy hlasovalo $$x = x_{1} + x_{2} = 54+12 = 66$$ žáků.

Hlasování se zůčastnilo celkem 300 žáků. Zbývá nám tedy vypočítat kolik procent je 66 z 300. Pomocí trojčlenky dostaneme $$x = \frac{66}{300}100 = 22\%$$ Pro Vikingy tedy hlasovalo 22% žáků.
Řešení 25.1:
Jedná se o exponenciální rovnici. Upravíme si ji do tvaru $$\frac{2^{x}}{2} = \frac{1}{4}$$ Vynásobíme dvojkou $$2^{x} = \frac{1}{2}$$ A nyní přepíšeme rovnici do takového tvaru, abychom na obou stranách měli stejný základ mocniny $$2^{x} = 2^{-1}$$ Základy mocnin jsou stejné, musejí být tedy stejné i exponenty a dostáváme tak řešení rovnice $$x = -1$$ Je to tedy varianta C.

Řešení 25.2:
Máme opět exponenciální rovnici, tato rovnice ale nemá řešení, protože neexistuje žádné reálné číslo, kterým kdybychom umocnili dvojku, tak bychom dostali záporné číslo. Správná odpověď je tedy F.

Řešení 25.3:
Máme logaritmickou rovnici. Oba logaritmy na levé straně můžeme spojit v jeden logaritmus $$\log_{2}\left(2\cdot 1\right) = \log 2x$$ Rovnici můžeme odlogaritmovat a dostaneme $$2 = 2x$$ Po vydělení dvojkou dostaneme řešení $$x = 1$$ což je odpověď D.

Řešení 25.4:
Členy na levé straně opět spojíme v jeden logaritmus $$\log_{2}\frac{x^{2}}{x} = 1$$ Jedničku na pravé straně si přepíšeme pomocí logaritmu. Máme logaritmus se základem 2, takže platí $$\log_{2}2 = 1$$ Dosadíme to za jedničku na pravou stranu do naší rovnice a dostaneme $$\log_{2}x = \log_{2}2$$ Teď už můžeme rovnici odlogaritmovat a dostaneme rovnou řešení celé rovnice $$x = 2$$ takže správná odpověď je E.
VÝCHOZÍ TEXT A GRAF K ÚLOZE 26
Řešení 26.1:
Z grafu vidíme, že obě funkce klesají na intervalu $$\left(\frac{\pi}{2}; \, \pi\right)$$ což je odpověď C.

Řešení 26.2:
Obě funkce rostou na intervalu $$\left(\frac{3\pi}{2};\, 2\pi\right)$$ a to je odpověď E.

Řešení 26.3:
Funkce sinus je ta, která procházi nulou. Správná odpověď je tedy D, protože na tomto intervalu sinus klesá a kosinus roste.