E-Academia
facebook Jsme na facebooku Přihlásit se | Registrovat se

Zápis na všechny kurzy, přednášky a testy je od 1.3.2017 zcela ZDARMA!

Řešení maturitního didaktického testu z matematiky - podzim 2014


Autorem zadání testových úloh je Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání.


Autorem řešení je E-Academia.

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1
Příklad č. 1:
Zapište intervalem $A\cap B$.
Řešení:
Naším úkolem je najít průnik dvou intervalů $A$ a $B$. Z obrázku je zřejmé, že interval $A$ je roven $$A = \left( -3;\, 5\right)$$ a interval $B$ je $$B = \left.\langle 1;\,\infty\right) $$ Průnik těchto dvou intervalů bude interval od plus jedničky do plus pětky, s tím že jednička bude do intervalu patřit, zatímco pětka do intervalu patřit nebude. To, že krajní hodnota 1 do intervalu patří, zapíšeme pomocí ostré závorky. Naopak to, že krajní hodnota 5 do intervalu nepatří, zapíšeme pomocí závorky kulaté. $$A\cap B = \left.\langle 1;\,5\right)$$
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2
Příklad č. 2.1:
Vypočtěte v $m^{2}$ rozlohu plochy, kterou zabírá dům.
Řešení:
Ze zadání víme, že zahrada zabírá $660\,m^{2}$ a že to jsou tři čtvrtiny z druhé části. Když si tedy rozlohu druhé části označíme neznámou $x$, můžeme napsat $$\frac{3}{4}x = 660$$ Z toho můžeme vypočítat, čemu se rovná $x$ $$x = \frac{4}{3}\cdot 660 = 880\, m^{2}$$ Tím tedy známe rozlohu druhé části. Dále víme, že dům zabírá jednu čtvrtinu druhé části a to je tedy $$\frac{880}{4} = 220 \,m^{2}$$
Příklad č. 2.2:
Vypočtěte v $m^{2}$ rozlohu celého pozemku.
Řešení:
Rozlohu pozemku určíme jako součet obou částí a to je $$\frac{1}{2}x + x = \frac{880}{2} + 880 = 1320\,m^{2}$$
Příklad č. 3:
Výraz s proměnnou $x\in\mathbf{R}$ rozložte na součin. $$x^{2}+16x+64 = $$
Řešení:
Jeden možný a rychlý způsob, jak můžeme postupovat je, že se pokusíme najít dvě čísla $a$, $b$, která budou splňovat, že jejich součet bude roven 16 a jejich součin bude 64. Potom můžeme výraz přepsat do tvaru $\left(x+a\right)\left(x+b\right)$. V našem případě se jedná o čísla $a=8$ a $b=8$, protože $8+8=16$ a $8\cdot 8 = 64$. Výsledek tedy můžeme zapsat jako $$\left(x+8\right)\left(x+8\right).$$
Příklad č. 4:
Pro $a\in\mathbf{N}$ upravte výraz $$\left(2-\frac{1}{a+1}\right):\left(2a+1\right)=$$ V záznamovém archu uveďte celý postup řešení.
Řešení:
Dělení mezi oběma závorkami můžeme přepsat jako násobení převrázenou hodnotou $$\left(2-\frac{1}{a+1}\right)\cdot\frac{1}{\left(2a+1\right)}$$ Nyní si upravíme výraz v první závorce tím, že oba členy převedeme na společný jmenovatel $$\left(\frac{2\left(a+1\right)-1}{a+1}\right) \cdot\frac{1}{\left(2a+1\right)}$$ Upravíme čitatel první závorky $$\left(\frac{2a+1}{a+1}\right) \cdot\frac{1}{\left(2a+1\right)}$$ Závorky kolem zlomků můžeme odstranit, protože se zlomky mezi sebou násobí a zároveň můžeme krátit do kříže čitatel prvního zlomku se jmenovatelem druhého zlomku. Po vykrázení dostaneme výsledek $$\frac{1}{a+1}$$
Příklad č. 5:
Stanovte podmínky a v oboru $\mathbf{R}$ řešte: $$\frac{3x^{2}+5x+2}{3x^{2}-3} = 0$$ V záznamovém archu uveďte celý postup řešení.
Řešení:
Zlomek na levé straně rovnice bude mít smysl, pokud se jmenovatel nebude rovnat nule. To znamená, že dostáváme podmínku $$3x^{2}-3\neq 0$$ To je kvadratická nerovnice. Pro její řešení můžeme postupovat tak, že si vyjádříme $x^{2}$ $$3x^{2}\neq 3$$ $$x^{2}\neq 1$$ Řešení takovéto nerovnice obyčejně zapisujeme pomocí absolutní hodnoty jako $$\left|x\right| \neq 1,$$ což znamená, že $x$ se nesmí rovnat jedničce nebo mínus jedničce.

Teď když máme stanovenou podmínku, tak můžeme přejít k řešení samotné rovnice. Nejprve se zbavíme zlomku, což uděláme tak, že celou rovnici vynásobíme jmenovatelem a dostaneme tak $$3x^{2} + 5x + 2 = 0$$ Tím dostáváme kvadratickou rovnici. Vypočítáme si diskriminant $$D = 5^{2} - 4\cdot 3\cdot 2 = 1$$ Pro kořeny kvadratické rovnice platí vzoreček $$x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$$ Do vzorečku dosadíme a vypočteme nejprve $x_{1}$ $$x_{1} = \frac{-5 + 1}{2\cdot 3} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$$ A podobným způsobem vypočítáme druhý kořen $$x_{2} = \frac{-5-1}{2\cdot 3} = -\frac{6}{6} = -1$$ Nyní musíme ještě ověřit, zda jsou splněny podmínky existence. První kořen $x_{1}$ podmínkám vyhovuje, druhý kořen jim ale nevyhovuje. To znamená, že rovnice má pouze jedno řešení a to je $$x_{1} = -\frac{2}{3}$$
Příklad č. 6:
Pro $x\in\mathbf{R}$; $y\in\mathbf{R} \setminus\left\{0\right\}$ řešte: $$\frac{x+1}{y}=4$$ $$2x-4y=-6$$
Řešení:
Jedná se o soustavu dvou rovnic pro dvě neznámé. V prví rovnici se zbavíme zlomku tím, že ji vynásobíme $y$ $$x+1 = 4y$$ $$2x - 4y = -6$$ Přeskupíme členy v první rovnici $$x - 4y = -1$$ $$2x - 4y = -6$$ První rovnici vynásobíme mínus jedničkou, abychom mohli následně použít sčítací metodu $$-x + 4y =1$$ $$2x - 4y= -6$$ Nyní můžeme obě rovnice sečíst a neznámá $y$ nám vypadne. Současně dostaneme přímo výsledek pro neznámou $x$ $$x = -5$$ Nyní dosadíme za $x$ do první rovnice $$-5+1 = 4y$$ Tím dostáváme rovnici pro $y$ $$4y = -4$$ $$y = -1$$ Řešení je tedy $$\left[-5;\, -1\right]$$
Příklad č. 7:
Platí: $3-ab = 2a+b$. Vypočtěte hodnotu $a$ pro $b=\frac{1}{2}$.
Řešení:
Dosadíme do rovnosti hodnotu $b$: $$3-a\cdot\frac{1}{2} = 2a+\frac{1}{2}$$ a nyní budeme řešit jako rovnici o jedné neznámé. Zbavíme se nejprve zlomku, takže vynásobíme celou rovnici dvěma $$6-a = 4a + 1$$ Dále převedeme členy s neznámou $a$ na jednu stranu $$5a = 5$$ A teď už jen vydělíme pěti a dostaneme výsledek $$a = 1$$
Příklad č. 8:
V oboru $\mathbf{R}$ řešte $$\frac{24+2^{x}}{4}=2^{x}$$ V záznamovém archu uveďte celý postup řešení.
Řešení:
Jedná se o exponenciální rovnici, protože neznámá $x$ se nachází v exponentu. Nejprve se zbavíme zlomku a rovnici vynásobíme jmenovatelem. $$24+2^{x} = 4\cdot2^{x}$$ Výrazy s neznámou $x$ si převedeme na jednu stranu $$4\cdot2^{x}-2^{x} = 24$$ Výraz s neznámou $x$ teď můžeme z obou členů vytknout a dostaneme $$2^{x}\left(4-1\right) = 24$$ $$2^{x}\cdot 3 =24$$ Vydělíme rovnici trojkou $$2^{x} = 8$$ Osmičku na pravé straně si můžeme přepsat do tvaru $2^{3}$ $$2^{x} = 2^{3}$$ Vzhledem k tomu, že základy mocnin jsou na obou stranách stejné, tak aby takováto rovnice byla splněna, tak musí být stejné také exponenty a z toho nám tedy vyplývá řešení celé rovnice $$x = 3$$
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 9
Příklad č. 9.1:
Zapište souřadnice vektoru $\vec{b}$.
Řešení:
Souřadnice vektoru určíme tak, že od sebe odečteme souřadnice bodů, ve kterých šipka končí a začíná $$\vec{b} = \left(3-0;\,-2-\left(-2\right)\right) = \left(3;\,0\right)$$
Příklad č.9.2:
Platí $\vec{c} = \vec{a}+\vec{b}$. Zapište souřadnice vektoru $\vec{c}$.
Řešení:
Určíme nejprve souřadnice vektoru $\vec{a}$ a potom vektory sečteme $$\vec{a} = \left(-2-0;\,1-\left(-2\right)\right) = \left(-2;\,3\right)$$ Nyní můžeme vektory sečíst $$\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = \left(-2+3;\,3+0\right) = \left(1;\, 3\right)$$
Příklad č. 10:
Vypočtěte: $$\frac{100!}{99!}+100\cdot \frac{99!}{100!} = $$
Naším cílem bude faktoriály vhodným způsobem vykrátit. To se nám podaří, když si $100!$ přepíšeme jako $100! = 100\cdot 99!$ $$\frac{100\cdot 99!}{99!} + 100\cdot\frac{99!}{100\cdot 99!} = 100 + 100\cdot\frac{1}{100} = 100 + 1 = 101$$
Příklad č. 11:
V oboru $\mathbf{R}$ řešte: $$\log_{4}\left(x-8\right) = 1$$
Řešení:
Nejprve stanovíme podmínky existence logaritmu. Logaritmus je definovaný pouze pro kladná čísla, takže musí platit $$x-8 > 0$$ a z toho tedy vyplývá, že $x$ musí být větší než 8.

Rovnici můžeme řešit metodou odlogaritmování. K tomu potřebujeme přepsat jedničku na pravé straně rovnice pomocí logaritmu. To můžeme udělat, protože platí $$1 = \log_{4}4$$ Takže můžeme rovnici přepsat do tvaru $$\log_{4}\left(x-8\right) = \log_{4}4$$ Nyní již můžeme rovnici odlogaritmovat. To znamená, že dostaneme rovnici pro argumenty obou logaritmů $$x-8 = 4$$ Tím jsme dostali jednoduchou lineární rovnici jejímž řešením je $$x = 12$$ Tento výsledek vyhovuje podmínkám existence, protože je větší než 8.
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOHÁM 12-13
Příklad č. 12:
Vypočtěte v $cm$ vzdálenost $BS$.
Řešení:
Vzhledem k tomu, že bod $S$ je střed kulové plochy a bod $B$ leží na kulové ploše, je vzdálenost těchto bodů rovna poloměru kulové plochy. Poloměr kulové plochy určíme jako součet vzdáleností $SO$ a $OV$ $$|SB| = r = |SO| + |OV| = 12+5 = 17\,cm$$
Příklad č. 13:
Vypočtěte v $cm^{2}$ obsah kulového vrchlíku.
Řešení:
Pro obsah kulového vrchlíku platí vzoreček $$S = 2\pi rv$$ Do něj můžeme rovnou dosadit $$S = 2\pi \cdot 17\cdot 5 = 170\pi \,cm^{2}$$
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 14
Příklad č. 14.1:
Vypčtěte v $cm^{3}$ objem dutiny.
Řešení:
Vypočítáme si objem krychle $$V_{k} = a^{3} = 8^{3} = 512\,cm^{3}$$ Ze zadání víme, že objem dutiny je čtyřikrát menší než objem krychle. Pro objem dutiny tedy dostáváme $$V_{j} = \frac{512}{4} = 128\,cm^{3}$$
Příklad č. 14.2:
Vypočtěte v $cm$ hloubku $h$ dutiny.
V obou částech úlohy 14 uveďte v záznamovém archu celý postup řešení (použité vzorce, dosazení číselných hodnot, výpočet a jednotky).
Řešení:
Hloubku dutiny vypočítáme ze vzorečku pro objem jehlanu, $$V_{j} = \frac{1}{3}S_{p}\cdot h,$$ $S_{p}$ je obsah podstavy jehlanu, která je v našem případě shodná s podstavou krychle. Platí tedy $S_{p} = a^{2} = 8^{2} = 64$. Pro objem jehlanu tedy dostáváme $$V_{j} = \frac{1}{3}\cdot 64\cdot h$$ Objem jehlanu jsme již vypočítali, můžeme ho tedy do předchozí rovnice dosadit $$128 = \frac{1}{3}\cdot 64\cdot h$$ Tím dostáváme lineární rovnici pro $h$. Rovnici vynásobíme třemi $$384 = 64h$$ A nakonec vydělíme $64$ $$h = \frac{384}{64} = 6\,cm$$
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 15

Na přímce $p$ sestrojte následující body:

Příklad č. 15.1:
bod $A$, kde velikost úhlu $KAL$ je rovna $180°$
Řešení:
Příklad č. 15.2:
bod $B$, kde $\left|BK\right| = \left|BL\right|$
V záznamovém archu konstrukci obtáhněte propisovací tužkou.
Řešení:
Příklad č. 16:
Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (16.1-16.4), zda je pro všechny hodnoty $a, b \in \mathbf{N}$ pravdivé, či nikoliv.
$$16.1\quad \frac{3+b}{a+2} = \frac{3}{a}+\frac{b}{2}$$ $$16.2\quad \frac{a+2}{b} = \frac{a}{b}+\frac{2}{b}$$ $$16.3\quad \frac{a\cdot 3}{2\cdot b}=\frac{a}{2}\cdot\frac{3}{b}$$ $$16.4\quad \frac{a\cdot 2}{b} = \frac{a}{b}\cdot\frac{2}{b}$$
Řešení:
Sečteme-li zlomky na pravé straně 16.1, dostaneme $$\frac{3}{a} + \frac{b}{2} = \frac{6+ab}{2a},$$ což se liší od výrazu na levé straně a to tedy znamená, že trvrzení 16.1 není pravdivé.
Sečteme-li zlomky na pravé straně 16.2, dostaneme $$\frac{a}{b}+ \frac{2}{b} = \frac{a+2}{b},$$ což je přesně výraz na levé straně 16.2 a jedná se tedy o pravdivé tvrzení.
Výraz 16.3 je také pravdivý, protože vynásobením zlomků na pravé straně dostaneme přesně ten výraz který je na levé straně.
Výraz 16.4 není pravdivý, protože vynásobením zlomků na pravé straně dostaneme $$\frac{a}{b} \cdot \frac{2}{b} = \frac{2a}{b^{2}},$$ což se liší od výrazu na levé straně.
Příklad č. 17:
Obchodník koupil výrobky za jednotnou nákupní cenu. Doporučená prodejní cena jednoho výrobku je o 60% vyšší než jeho nákupní cena. Za doporučenou prodejní cenu prodal obchodník $\frac{4}{5}$ nakoupených výrobků, zbytek výrobků se mu prodat nepodařilo. O kolik procent je částka získaná z prodeje výrobků vyšší než částka vynaložená na nákup všech výrobků?

A) o $48\%$ B) o $28\%$ C) o $20\%$ D) obě částky jsou stejné E) o jiný rozdíl
Řešení:
Částku, kterou obchodník zaplatil za nákup si označíme neznámou $x$. Částka, kterou obchodník získal za prodej je potom $\frac{4}{5}\left(x+0,6x\right)$, protože prodal pouze $\frac{4}{5}$ toho co nakoupil a současně ale prodával za cenu, která je o 60% vyšší než nákupní. Tento výraz si můžeme upravit $$\frac{4}{5}\left(x+0.6x\right) = \frac{4}{5}x\left(1+\frac{6}{10}\right) = \frac{4}{5}\cdot\frac{16}{10}x = \frac{32}{25}x$$ Teď když víme za kolik obchodník nakoupil ($x$) a za kolik prodal ($\frac{32}{25}x$), můžeme vypočítat o kolik procent je částka získaná z prodeje vyšší než částka vynaložená na nákup $$\frac{32}{25}x - x = \frac{7}{25}x = 0,28x$$ Jinými slovy částka získaná za prodej je o 28% vyšší než částka vynaložená za nákup.
Příklad č. 18:
Otec se rozhodl vyplatit Markovi odměnu za vyřešení testu z matematiky. Za každou správně vyřešenou úlohu mu zaplatí 50 Kč, za každou chybně vyřešenou úlohu 150 Kč odečte. Test obsahuje 20 úloh. Marek test vyřešil a dostal za něj 200 Kč. Kolik procent úloh vyřešil Marek správně?

A) $70\%$ B) $75\%$ C) $80\%$ D) $85\%$ E) jiný počet
Řešení:
Pomocí údajů ze zadání si sestavíme rovnici. Počet otázek, které Marek vyřešil správně si označíme neznámou $x$. Počet otázek, které Marek vyřešil špatně tedy bude $20-x$, protože celkem máme 20 otázek a musí platit, že počet správně vyřešených plus počet chybně vyřešených je dohromady 20.
Dále víme, že počet správně vyřešených krát 50 Kč mínus počet chybně vyřešených krát 150 Kč nám musí dát součet 200, protože to je částka, kterou Marek dostal. Tuto větu nyní zapíšeme matematicky $$50\cdot x - 150\cdot\left(20-x\right) = 200$$ Tím jsme tedy dostali rovnici pro jednu nezámou. Roznásobíme závorku a dostaneme $$50x - 3000 + 150x = 200$$ Sečteme co se dá sečíst a dostaneme $$200x = 3200$$ Vydělíme 200 a dostaneme, že $$x = 16$$ Vyšlo nám tedy, že počet otázek, které Marek vyřešil správně je 16. Teď ještě zbývá určit kolik procent je 16 z 20. Na to můžeme použít např. trojčlenku a vyjde nám, že je to 80%.
Příklad č. 19:
Body $K[3;\, y]$, $L[x; \, 8]$ leží na přímce $p$, pro kterou platí: $$p:\quad x=3-5t,$$ $$\quad \quad\quad y=-4-12t; \quad t\in\mathbf{R}$$ Jaká je délka úsečky $KL$?

A) $13$ B) $\sqrt{73}$ C) $\sqrt{40}$ D) $5$ E) jiná délka
Řešení:
Vypočítáme si souřadnice obou bodů $K$, $L$. Máme zadané paramterické rovnice přímky $p$, do první z nich můžeme dosadit x-ovou souřadnici bodu $K$ a dopočítat hodnotu parametru $t$ $$3 = 3-5t$$ Z této rovnice vyplývá, že $t$ je rovno nule, $t=0$. To můžeme dosadit do druhé rovnice a dopočítat tak y-ovu souřadnici bodu $$y = -4-12\cdot 0 = -4$$ Bod $K$ má tedy souřadnice $$K = \left[3;\, -4\right]$$ Stejným způsobem dopočítáme souřadnice bodu $L$. Do druhé rovnice dosadíme jeho y-ovou souřadnici $$8 = -4 -12t$$ Vyřešíme rovnici pro $t$ $$-12t = 12$$ $$t = -1$$ To teď dosadíme do první rovnice $$x = 3 - 5\cdot\left(-1\right) = 8$$ Bod $L$ má tedy souřadnice $$L = \left[8;\,8\right]$$ Pro vzdálenost obou bodů použijeme vzoreček $$d = \sqrt{\left(L_{x} - K_{x}\right)^{2} + \left(L_{y} - K_{y}\right)^{2}}$$ Dosazením za souřadnice bodů dostaneme $$d = \sqrt{\left(8-3\right)^{2}+\left(8-\left(-4\right)\right)^{2}} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$$
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 20
Příklad č. 20:
Jaký je obsah čtyřúhelníku $ABCD$?

A) $\left(20+\sqrt{50}\right)\,cm^{2}$ B) $37,5\,cm^{2}$ C) $\left(41-0,5\cdot\sqrt{50}\right)\,cm^{2}$ D) $39,5\,cm^{2}$ E) jiný obsah
Řešení:
Lichoběžník si rozdělíme na obdélník a trojúhelík tak, že z vrcholu $D$ spustíme kolmici na na stranu $AB$. Tato kolmice nám protne stranu $AB$ v bodě, který si označíme $X$. Tím dostaneme trojúhelník $AXC$ a obdélník $XBCD$. Délka strany $AX$ je $$|AX| = 10 - 5 = 5\,cm$$ Dále budeme potřebovat délku strany $BC$. To můžeme určit z obrázku pomocí Pythagorovy věty, protože víme, že délka jednoho dílku je 1cm. $$|BC| = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5\, cm$$ Délka strany $BC$ je tedy stejná jako délka strany $CD$. Obdélník $XBCD$ je tedy ve skutečnosti čtverec a jeho obsah vypočítáme jako $$S_{1} = |BC|\cdot |CD| = 5\cdot 5 = 25\, cm^{2}$$ Trojúhelník AXD je pravoúhlý a jeho obsah vypočítáme jako $$S_{2} = \frac{|AX|\cdot |XD|}{2} = \frac{5\cdot 5}{2} = \frac{25}{2}\,cm^{2}$$ Obsah celého lichoběžníku určíme jako součet $S_{1}$ a $S_{2}$ $$S = S_{1} + S_{2} = 25+\frac{25}{2} = 37,5\,cm^{2}$$
Příklad č. 21:
V divadle se do první řady posadí 12 osob, 3 místa v této řadě zůstanou volná. Kolika způsoby by mohla být rozmístěna volná místa v prní řadě?

A) $220$ B) $455$ C) $1320$ D) $2730$ E) jiným počtem
Řešení:
Celkem máme 15 sedadel a zajímá nás kolikati způsoby můžeme vybrat tři sedadla. Jedná se tedy o kombinace třetí třídy z patnácti prvků $$K_{3}\left(15\right) = {15\choose 3} = \frac{15!}{k!\cdot\left(15-3\right)!} = \frac{15!}{12!\cdot 3!} = \frac{15\cdot 14\cdot 13 \cdot 12!}{12!\cdot 3!} = \frac{15\cdot 14\cdot 13}{6} = 455 $$
Příklad č. 22:
Hráč hodí jedenkrát běžnou šestistěnnou kostkou a jedenkrát mincí (na jedné straně mince je panna, na druhé je orel). Jaká je pravděpodobnost, že na kostce padne šestka a na minci orel?

A) $\frac{2}{8}$ B) $\frac{1}{7}$ C) $\frac{2}{12}$ D) $\frac{1}{8}$ E) $\frac{1}{12}$
Řešení:
Jedná se o nezávislé jevy, protože hod kostkou nijak neovlivňuje to, jak dopadne hod mincí. Pravděpodobnost toho, že padne šestka je $\frac{1}{6}$ a pravděpodobnost toho, že padne orel je $\frac{1}{2}$. Výslednou pravděpodobnost toho, že padne současně šestka a orel získáme tak, že obě pravděpodobnosti vynásobíme $$p = \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{12}$$
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 23
Příklad č. 23:
Jak dlouhá je řada korálků?

A) kratší než $720\,mm$ B) $730\,mm$ C) $740\,mm$ D) $750\,mm$ E) delší než $750\, mm$
Řešení:
Celou řadu korálků si můžeme rozdělit na dvě aritmetické posloupnosti. Jedna je od černé korálky směrem napravo a druhá je od černé korálky směrem nalevo. Obě posloupnosti jsou stejné a první člen jsou dva korálky o rozměrech 19mm, druhý člen jsou dva korálky o rozměrech 18mm, třetí člen jsou dva korálky o rozměrech 17mm atd... To tedy znamená, že $$a_{1} = 2\cdot 19 = 38$$ $$a_{2} = 2\cdot 18 = 36$$ $$a_{3} = 2\cdot 17 = 34$$ Z toho můžeme určit diferenci aritmetické posloupnosti $$d = a_{2} - a_{1} = 36 - 38 = -2$$ Délku řady korálků určíme jako součet $n$ členů, pro který platí vzoreček $$S_{n} = \frac{n}{2}\left(a_{1}+a_{n}\right)$$ Musíme ještě určit čemu se rovná $n$ a čemu se rovná $a_{n}$. Každá posloupnost má celkem 15 členů, protože napravo od černé korálky je celkem 30 korálků a my je bereme po dvou a stená situace ja nalevo. To znamená, že $n = 15$. Pro n-tý člen platí vzoreček $$a_{n} = a_{1} + d\left(n-1\right) = 38 -2\cdot 14 = 10$$ To teď můžeme dosadit do vzorečku pro součet $$S_{n} = \frac{15}{2}\left(38+10\right) = 15\cdot 24 = 360$$ Délku celé řady korálek dostaneme tak, že součet vynásobíme dvěma (protože posloupnosti máme dvě) a přičteme k tomu délku prostřední korálky, protože tu jsme zatím nezapočítali $$d = 360\cdot 2+ 20 = 740\,mm$$
Příklad č. 24:
První tři po sobě jdoucí členy posloupnosti jsou $a_{1}=36$, $a_{2}=12$, $a_{3}=4$. Který vzorec pro $n$-tý člen posloupnosti je možné pro tyto členy použít?

A) $a_{n} = 36+24^{-n}$ B) $a_{n} = 52-16n$ C) $a_{n} = 60-24n$ D) $a_{n} = 108\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{n}$ E) $a_{n} = 36\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{n}$
Řešení:
Správná odpověď je D a můžeme to zjistit tak, že si do vzorečku pro n-tý člen postupně dosadíme za $n$ jedičku, dvojku a trojku. Když dosadíme jedničku, tak dostaneme $$a_{1} = 108\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{1} = \frac{108}{3} = 36,$$ což souhlasí s hodnotou, kterou máme v zadání. Dále dosadíme za $n$ dvojku $$a_{2} = 108\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{2} = \frac{108}{9} = 12,$$ to opět soulasí s hodnotou v zadání. A nakonec ještě ověříme pro $n=3$ $$a_{3} = 108\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{3} = \frac{108}{27} = 4$$ a to je opět hodnota, kterou máme v zadání.
Příklad č. 25:
Přiřaďte ke každému předpisu funkce (25.1 - 25.4) odpovídající graf funkce (A-F). Předpisy funkcí si můžete nejprve upravit.
$$25.1 \quad y=\left(2^{-1}\right)^{x}$$ $$25.2 \quad y=2\left(-x\right)^{2}$$ $$25.3 \quad y=2\left(-x\right)^{-1}$$ $$25.4 \quad y=2\left(-x\right)$$
Řešení:
Funkci 25.1 upravíme do tvaru $$y=2^{-x}$$ Jedná se o exponenciální funkci. Pro kladné hodnoty $x$ je exponent záporný a funkce velmi rychle klesá k nule. Dosadíme-li za $x$ nulu, dostaneme $y = 1$. Jedná se tedy o funkci na obrázku A.

Funkci 25.2 upravíme do tvaru $$y = 2x^{2}$$ To je kvadratická funkce, jejímž grafem je parabola, jedná se o graf na obrázku C.

Funkci 25.3 upravíme do tvaru $$y = -\frac{2}{x}$$ Jedná se o lineární lomenou funkci jejímž grafem je dvojice hyperbol. Pro kladné $x$ dostaneme zápornou funkční hodnotu, takže se jedná o funkci na obrázku F.

Funkci 25.4 upravíme do tvaru $$y = -2x$$ To je rovnice přímky, která je na obrázku E.
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 26
Příklad č. 26:
Přiřaďte ke každému úhlu (26.1-26.3) jeho velikost (A-E).
$$26.1\quad \alpha$$ $$26.2\quad \beta$$ $$26.3\quad \gamma$$


A) $15°$ B) $25°$ C) $35°$ D) $45°$ E) jiná velikost
Řešení:
Úhel $\alpha$ určíme jednoduše. Trojúhelník $AXC$ je pravoúhlý a také rovnoramenný, to znamená, že úhel při vrcholu $X$ a při vrcholu $C$ musí být stejně velké a jejich součet musí být 90°. Z toho tedy vyplývá, že $\alpha = 45°$.
K výpočtu úhlu $\beta$ využijeme toho, že trojúhelník $ABC$ je také pravoúhlý a že známe přeponu a protilehlou odvěsnu. Můžeme tedy použít funkci sinus a musí platit $$\sin\beta = \frac{4,5}{9} = \frac{1}{2}$$ Z toho vyplývá, že úhle $\beta = 30°$
Pro výpočet úhlu $\gamma$ můžeme použít trojúhelník $XBC$ a vypočítat nejprve úhel při vrcholu $X$. Tento úhel si označíme jako $\delta$ a můžeme ho vypočítat jako $$\delta = 180 - \alpha = 180-45 = 135°$$ Pro úhel $\gamma$ tedy bude platit $$\gamma = 180-\left(\beta+\delta\right) = 180-\left(30 + 135\right) = 15°$$ a využili jsme toho, že součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je 180°.