E-Academia
facebook Jsme na facebooku Přihlásit se | Registrovat se

Zápis na všechny kurzy, přednášky a testy je od 1.3.2017 zcela ZDARMA!

Řešení maturitního didaktického testu z matematiky - jaro 2015


Autorem zadání testových úloh je Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání.


Autorem řešení je E-Academia. (Řešení se vypracovává a zatím není dokončené.)

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1
Příklad č. 1:
Zapište číslo, jehož obrazem je bod $X$.
Délka od mínus sedmičky po plus pětku je dohromady 12, to znamená, že délka jednoho dílu je 6. Od pětky po $x$ to jsou tři díly a to je tedy $3\cdot 6 = 18$. To tedy znamená, že $X$ zobrazuje číslo $5+18 = 23$.
Příklad č. 2:
Uveďte všechna celá čísla, jejichž absolutní hodnota je menší než 3.
Jedná se o celá čísla, která jsou od nuly vzdálena méně než o 3 dílky a to jsou čísla: -2, -1, 0, 1, 2.
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3

Tiskárna vytiskne $k$ listů za $n$ sekund $\left(k,n\in \mathbb(N)\right)$.

Příklad č. 3:
Vyjádřete v závislosti na veličinách $k$ a $n$ počet listů, které tiskárna vytiskne za $5$ minut.
Řešení:
Rychlost tisku tiskárny je $\frac{k}{n}$. Počet listů, které tiskárna vytiskne za určitou dobu získáme tak, že vynásobíme rychlost tisku časem. Pět minut je dohromady 300 sekund, to znamená, že pro počet listů $p$ vytisknutých za pět minut dostáváme vztah $$p = 300\frac{k}{n}$$
Příklad č. 4:
Pro $a\in\mathbb{R}\setminus\{-2;\,2\}$ zjednodušte: $$\left(2+a\right)\cdot\left(\frac{8}{4-a^{2}}-\frac{2}{2-a}\right) = $$ V záznamovém archu uveďte celý postup řešení.
Obsah druhé závorky převedeme na společného jmenovatele $$\left(2+a\right)\cdot\left(\frac{8-2\left(2+a\right)}{\left(2-a\right)\left(2+a\right)}\right)=$$ Upravíme čitatel $$=\left(2+a\right)\cdot\frac{8-4-2a}{\left(2-a\right)\left(2+a\right)} = \left(2+a\right)\cdot\frac{4-2a}{\left(2-a\right)\left(2+a\right)} $$ Můžeme vykrátit závorku $\left(2+a\right)$ $$\left(2+a\right)\cdot\frac{4-2a}{\left(2-a\right)\left(2+a\right)} =\frac{4-2a}{2-a}$$ V čitateli vytkneme dvojku $$\left(2+a\right)\cdot\frac{4-2a}{\left(2-a\right)\left(2+a\right)} =\frac{4-2a}{2-a} = \frac{2\left(2-a\right)}{2-a}$$ Nyní můžeme výraz $2-a$ ve zlomku zkrátit $$\left(2+a\right)\cdot\frac{4-2a}{\left(2-a\right)\left(2+a\right)} =\frac{4-2a}{2-a} = \frac{2\left(2-a\right)}{2-a} = 2$$
Příklad č. 5:
V oboru $\mathbb{R}$ řešte: $$\frac{y-7}{4-y}-\frac{3-2y}{y-4} = 0$$ V záznamovém archu uveďte celý postup řešení včetně stanovení podmínek nebo zkoušky.
Jmenovatel u zadaných zlomků se nesmí rovnat nule. Z toho dostaneme dvě podmínky $$4-y\neq 0, \quad\quad y-4\neq 0$$ Řešení těchto podmínek je, že $$y\neq 4$$ Rovnici budeme řešit tak, že u druhého zlomku vytkneme ze jmenovatele mínus, aby se nám otočila znaménka na opačná. Tím získáme oba jmenovatele stejné $$\frac{y-7}{4-y} + \frac{3-2y}{4-y} = 0$$ Teď celou rovnici jmenovatelem vynásobíme, abychom se zbavili zlomků $$y-7 + 3-2y = 0$$ $$-4-y = 0$$ $$y = -4$$
Příklad č. 6:
Určete definiční obor a řešení rovnice s neznámou $x\in\mathbb{R}$ $$\log\left(2-x\right) = -1$$
Logaritmus je definovaný pouze pro kladná čísla, takže definiční obor bude dán podmínkou $$2-x>0$$ a z toho tedy vyplývá, že $x$ musí být menší než 2. To můžeme zapsat jako interval $\left(-\infty;\,2\right)$. Rovnici můžeme řešit metodou odlogaritmování, pokud mínus jedničku, která je na pravé straně, převedeme na logaritmus. To můžeme udělat pokud si uvědomíme, že platí $$\log \frac{1}{10} = -1$$ máme totiž dekadický logaritmus a $10^{-1} = \frac{1}{10}$ Rovnici si tedy přepíšeme do tvaru $$\log\left(2-x\right) = \log\frac{1}{10}$$ Teď už můžeme rovnici odlogaritmovat a dostaneme rovnici pro argumenty obou logaritmů $$2-x = \frac{1}{10}$$ Rovnici vynásobíme deseti a dostaneme $$20-10x = 1$$ $$19 = 10x$$ $$x = 1,9$$
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 7
Příklad č. 7:
Vypočtěte hodnotu $b$.
Přímá úměrnost je funkce, kterou můžeme matematicky zapsat jako $$y = \frac{k}{x}$$ My máme zadaný bod $[8; \, 3]$, kterým tato funkce prochází a naším úkolem je určit $y$-ovou souřadnici dalšího bodu $[5;\, b]$, u něhož známe pouze $x$-ovou souřadnici. Když do funkčního předpisu dosadíme známý bod, můžeme vypočítat koeficient $k$ $$k = y\cdot x = 3\cdot 8 = 24$$ Teď už stačí do funkčního předpisu dosadit x-ovou souřadnici neznámého bodu $$b = \frac{24}{x} = \frac{24}{5}$$
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 8
Příklad č. 8.1:
Sestojte graf funkce $f$. V záznamovém archu graf obtáhněte propisovací tužkou.
Řešení:

Příklad č. 8.2:
Zapište souřadnice vrcholu $V$ grafu funkce $f$.
Řešení:
Z grafu můžeme vyčíst souřadnice bodů $A$ a $B$: $$A = \left[-3;\,2\right], \quad\quad B = \left[1;\, 2\right]$$ Ze symetrie vyplývá, že $x$-ová souřadnice vrcholu $V$ bude uprostřed mezi body $A$ a $B$ a bude tedy rovna $V_{1} = -1$. $y$-ovou souřadnici můžeme vyčíst z grafu, protože víme, že vrchol leží na přímce $p$ a bude tedy rovna $V_{2} = -2$. Vrchol má tedy souřadnice $$V = \left[-1;\, -2\right]$$

Příklad č. 8.3:
Zapište obor hodnot funkce $f$.
Řešení:
Oborem hodnot jsou všechna reálná čísla od mínus dvojky do nekonečna, tedy interval $$H = \left.\langle -2; \, \infty\right)$$
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 9
Příklad č. 9.1:
Určete souřadnice směrového vektoru přímky $AB$.

Příklad č. 9.2:
Určete souřadnice vrcholu $B$.
Řešení:
Směrový vektor přímky $AD$ si označíme písmenkem $\vec{u}$ a platí pro něj $$\vec{u} = \left(\vec{D}-\vec{A}\right) = \left(-1-2;\,5-3\right) = \left(1;\,2\right)$$ Směrový vektor přímky $AB$ si označíme písmenkem $\vec{v}$. Pro tento vektor musí platit, že je kolmý k vektoru $\vec{u}$, protože v obdélníku jsou pravé úhly. Kolmý vektor k vektoru $\vec{u}$ vyrobíme tak, že přehodíme pořadí souřadnic a u jedné z nich otočíme znaménko na opačné, takže dostaneme např. $$\vec{v} = \left(2;\, -1\right)$$ Souřadnice bodu $B$ získáme tak, že si pomocí bodu $A$ a směrového vektoru $\vec{v}$ napíšeme parametrické rovnice přímky $AB$, $$x = -2+2t,$$ $$y = 3-t,$$ Teď můžeme do druhé rovnice dosadit $y$-ovou souřadnici hledaného bodu $B$, tu totiž známe, protože víme, že bod leží na $x$-ové ose a je tedy rovna nule $$0 = 3-t \quad => \quad t = 3$$ Parametr $t$ teď můžeme dosadit do první rovnice a dopočítat tak $x$-ovou souřadnici bodu B $$x = -2+2\cdot 3 =4$$ Souřadnice bodu $B$ jsou tedy $[4;\,0]$.
Příklad č. 10:
Pro $n\in\mathbb{N}$ je dán lomený výraz: $$\frac{2n-\frac{1}{3}}{3\left(1+\frac{n}{9}\right)}$$ Lomený výraz rozšiřte číslem 3 a odstraňte závorky.
$$\frac{2n-\frac{1}{3}}{3\left(1+\frac{n}{9}\right)} = \frac{3}{3}\cdot\frac{2n-\frac{1}{3}}{3\left(1+\frac{n}{9}\right)} = \frac{6n-1}{9\left(1+\frac{n}{9}\right)} = \frac{6n - 1}{9+n}$$
Příklad č. 11:
Pro veličiny $a\in\left(0;\,2\right)$, $b\in\mathbb{R}^{+}$ platí: $$1+\frac{1}{b} = \frac{2}{ab}$$ Z uvedeného vztahu vyjádřete veličinu $a$.
Rovnici vynásobíme výrazem $ab$ a dostaneme $$ab+a = 2$$ Na levé straně vytkneme $a$ $$a\left(b+1\right) = 2$$ Rovnici vydělíme závorkou $$a = \frac{2}{b+1}$$
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 12

Zaváděcí ceny sportovní obuvi jsou o 12,5% nižší, než jsou běžné ceny. Emil si koupil jedny boty za zaváděcí cenu a později stejné boty za běžnou cenu. Za oba páry bot zaplatil celkem 4875 Kč.

Příklad č. 12:
Vypočtěte, kolik korun Emil ušetřil při nákupu prvního páru obuvi.
Řešení:
Sestavíme si rovnici a běžnou cenu bot si označíme písmenkem $x$ $$x-0.125x+x = 4875$$ První dva členy na levé straně sestavené rovnice (tedy $x-0.125x$) vyjadřují zaváděcí cenu (od běžné ceny odečítáme 12,5% běžné ceny). Tím jsme dostali lineární rovnici. Na levé straně vytkenem $x$ $$x\left(1-0.125+1\right)=4875$$ Čísla v závorce sečteme $$1.875x = 4875$$ Vydělíme 1.875 $$x = \frac{4875}{1.875} = 2600$$ Tím jsme tedy dostali běžnou cenu bot. Emil při nákupu prvního páru bot ušetřil 12.5% z částky 2600 a to je $$2600\cdot 0.125 = 325\, Kč$$
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 13
Příklad č. 13:
Určete počet hran složeného tělesa.
Řešení:
Těleso je trojboký hranol, který má tři hrany na jedné podstavě, tři hrany na druhé podstavě a tři hrany po stranách. To je dohromady 9 hran.
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 14
Příklad č. 14:
Vypočtěte obsah kruhové travnaté plochy a výsledek zaokrouhlete na desítky $m^{2}$. V záznamovém archu uveďte celý postup řešení (použité vzorce, dosazení číselných hodnot, výpočet a jednotky).
K výpočtu obsahu travnaté plochy potřebujeme zjistit poloměr tohoto kruhu. Ten zjistíme pomocí vnější kuržnice u které známe její obvod. Pro obvod kružnice platí $$O = 2\pi r \quad => \quad r=\frac{O}{2\pi}$$ Pro poloměr vnější kružnice tedy dostáváme $$r_{1} = \frac{O}{2\pi} = \frac{157}{2\pi} = 25 m$$ Z obrázku vidíme, že poloměr travnaté plochy je o dva metry menší než poloměr vnější kružnice. Poloměr travnaté plochy si označíme jako $r_{2}$ a plat9 tedy, že $r_{2} = 25 - 2 = 23m$ Pro obsah travnaté části použijeme vzoreček pro obsah kruhu $$S = \pi r_{2}^{2} = \pi 23^{2} = 529\pi \,m^{2}$$ Zaokrouhlením na desítky $m^{2}$ dostaneme $1660\,m^{2}$
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 15

Čajové směsi jsou namíchané ze dvou druhů čaje. Ve standardní čajové směsi jsou hmnotnosti obou druhů čaje v poměru 1:3 a 40gramové balení této směsi se prodává za 42 Kč. Ve výběrové čajové směsi jsou hmotnosti obou druhů čaje v poměru 1:1 a 50gramové balení této směsi se prodává za 60 Kč.

Příklad č. 15:
Vypočtěte cenu 10 gramů dražšího druhu čaje. V záznamovém archu uveďte celý postup řešení.
Řešení:
Příklad č. 16:
Rozhodněte u každé z následujících rovnic (16.1-16.4), zda má pro $x\in\langle 0;2\pi\rangle$ právě dvě řešení, či nikoli.
16.1:
$$\sin x=\frac{1}{2}$$
Řešení:
Pro řešení úlohy je dobré nakreslit si jednotkovou kružnici. Z té poznáme, že první rovnice má na zadaném intervalu dvě řešení. jsou to kořeny $$x_{1} = \frac{\pi}{6}, \quad x_{2} = \frac{5}{6} \pi$$

16.2:
$$\sin x=\frac{3}{2}$$
Řešení:
Druhá rovnice řešení nemá žádné, protože sinus nemůže být větší než jedna.

16.3:
$$\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$
Řešení:
Třetí rovnice má na zadaném intervalu dvě řešení. Jsou to kořeny $$x_{1} = \frac{4}{3} \pi, \quad x_{2} = \frac{5}{3} \pi$$

16.4:
$$\sin x=-1$$
Řešení:
Poslední rovnice má na zadaném intervalu jedno řešení a to je $$x = \frac{3}{2} \pi$$

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 17

Pro $x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ platí: $$A=\frac{4}{3}:\left(2:x\right)$$ $$B=2\cdot\left(x:6\right)$$

Příklad č. 17:
Který z následujících výrazů je pro $x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ ekvivalentní s výrazem $2A+B$?
A) $\frac{5x}{3}$
B) $\frac{5x}{4}$
C) $\frac{15}{x}$
D) $\frac{52}{3x}$
E) žádný z uvedených
Řešení:
Dělení ve výrazech si zapíšeme pomocí zlomků $$A = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{2}{x}} = \frac{4}{3}\cdot\frac{x}{2} = \frac{2x}{3}$$ $$B = 2\cdot \frac{x}{6} = \frac{x}{3}$$ Teď si můžem spočítat čemu se rovná $2A+B$ $$2A+B = 2\cdot \frac{2x}{3} + \frac{x}{3} = \frac{4x}{3} + \frac{x}{3} = \frac{5x}{3}$$
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 18

V oboru $\mathbb{R}$ jsou dány rovnice: $$I:\quad\quad 2x^{2}-4 = -4x$$ $$II:\quad\quad \left(2x-1\right)^{2}=0$$ $$III:\quad\quad x^{2} -1 = -\left(x^{2}-1\right)$$

Příklad č. 18:
Která z uvedených rovnic nemá řešení?
A) I a II
B) II a III
C) pouze I
D) pouze III
E) Všechny tři rovnice mají řešení.
Rovnice číslo I je kvadratická a jetsli má řešení nebo ne poznáme podle znaménka diskriminantu. Rovnici si převedeme do tvaru, abychom měli všechny členy na levé straně $$2x^{2} + 4x -4 = 0$$ Teď můžeme ještě rovnici vydělit dvěma $$x^{2} + 2x -2 = 0$$ Pro diskriminant platí vzoreček $$D = b^{2} - 4ac$$ V našem případě je $a = 1$, $b = 2$, $c = -2$. Dosazením do vzorčeku dostaneme $$D = 4+8 = 12$$ Diskriminant vyšel kladný a to znamená, že rovnice I má v oboru reálných čísel dvě řešení.
Rovnice II je také kvadratická a již od pohledu je zřejmé, že má řešení, můžeme ho najít tak, že položíme obsah závorky roven nule, tedy $$2x-1 = 0\quad\quad=>\quad\quad x = \frac{1}{2}$$
Rovnice III je též kvadratická, odstraníme si nejprve závorku $$x^{2} -1 = -x^{2}+1$$ a teď si převedeme všechny členy na jednu stranu $$2x^{2}-2 = 0$$ Jedná se o rovnici bez lineárního členu a můžeme ji převést do tvaru $$x^{2} = 1$$ Tato rovnice má dvě řešení $x=\pm 1$

Správná odpověď je tedy E.
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 19
Příklad č. 19:
Kolik písemných prací bylo oznámkováno?
A) 16
B) 17
C) 18
D) 19
E) jiný počet

Pokud seřadíme všechny známky vzestupně, tak medián je hodnota uprostřed, která dělí celou řadu na dvě stejně velké části. Vzhledem k tomu, že v našem případě je medián 2.5, jedná se o hodnotu mezi dvojkou a trojkou. Z grafu vidíme, že trojek, čtyřek a pětek je dohromady $5+2+1 = 8$, stejný počet musí být i dvojek a jedniček. Dohromady je tedy 16 známek a správná odpověď je A.

Příklad č. 20:
Je dána přímka: $$p:\quad x = -1+t,$$ $$\quad\quad\quad\quad\quad\quad y = 1+2t;\quad t\in\mathbb{R}$$ Na kterém obrázku je přímka $p$?
Řešení:
Ze zadaných rovnic si můžeme spočítat například to, ve kterém bodě protíná přímka osu $y$. To uděláme tak, že za $x$ dosadíme nulu a vypočteme, čemu se rovná parametr $t$, ten pak dosadíme do druhé rovnice $$0=-1+t\quad => t=1$$ $$y=1+2t=1+2\cdot 1=3$$ Přímka tedy prochází bodem $[0;\,3]$. Jediný obrázek, na kterém přímka prochází tímto bodem, je obrázek C.
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 21
Příklad č. 21:
Jaká je výška válce (zaokrouhlená na desetiny cm)?
A) menší než 8,4 cm
B) 8,5 cm
C) 8,7 cm
D) 9,0 cm
E) větší než 9,1 cm
Pokud se válec dotýká všech stěn krychle tak musí platit, že jeho výška je stejně velká jako jeho průměr $$v=2r$$ Z toho si můžeme vyjádřit poloměr $$r = \frac{v}{2}$$ a ten dosadíme do vzorečku pro objem válce. Vzoreček pro objem je $$V = \pi r^{2}v$$ Dosazením za poloměr dostaneme $$V = \pi\frac{v^{3}}{4}$$ Z toho si teď můžeme výšku vyjádřit $$v^{3} = \frac{4V}{\pi} \quad => \quad v = \left(\frac{4V}{\pi}\right)^{\frac{1}{3}}$$ Teď už můžeme dosadit za objem válce $$v = \left(\frac{4\cdot 570}{\pi}\right)^{\frac{1}{3}} = 8.98\, cm$$ Zaokrouhlením na desetiny dostaneme $$v\approx 9\, cm$$
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 22
Příklad č. 22:
Kolik $cm^{2}$ papíru je použito na čepici?
A) $96\pi\, cm^{2}$
B) $128\pi\, cm^{2}$
C) $192\pi\, cm^{2}$
D) $256\pi\, cm^{2}$
E) jiný počet
Řešení:
Pro povrch pláště kužele platí vzoreček $$S_{pl} = \pi rs,$$ kde $r$ je poloměr podstavy a $s$ je délka strany kužele. Vzhledem k tomu, že osovým řezem je rovnostranný trojúhelník, musí platit $$s = 2r \quad => \quad r = \frac{s}{2}$$ Dosadíme-li do vzorečku takto vyjádřený poloměr podstavy dostaneme $$S_{pl} = \frac{1}{2} \pi s^{2}$$ Délku strany kužele máme zadanou, takže ji můžeme do vzorečku dosadit a dostaneme $$S_{pl} = \frac{1}{2}256\pi = 128\pi\,cm^{2}$$
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 23
Příklad č. 23:
V geometrické posloupnosti s kladnými členy platí: $$a_{2} = \frac{81}{2};\quad a_{4} = \frac{1}{2}$$ Do kterého z uvedených intervalů patří třetí člen $a_{3}$ posloupnosti?
A) $\left.\langle 1;\,4\right)$
B) $\left.\langle 4;\,8\right)$
C) $\left.\langle 8;\,16\right)$
D) $\left.\langle 16;\,32\right)$
E) $\langle 32;\, 40\rangle$
Pro geometrickou posloupnost platí, že $n-$tý prvek můžeme získat z předchozího prvku pomocí vztahu $$a_{n} = a_{n-1}q$$ V našem případě máme zadaný čtvrtý a druhý prvek, takže se nám bude hodit vzoreček $$a_{n} = a_{n-2}q^{2}$$ A ten nám říká, jak můžeme získat $n-$tý člen z před-předchozího členu, to znamená, že v našem případě dosadíme za $n$ čtyřku a dostaneme $$a_{4} = a_{2}q^{2}$$ Z toho si můžeme vyjádřit čemu se rovná kvocient $q$ $$q^{2} = \frac{a_{4}}{a_{2}}$$ Odmocněním dostaneme $$q=\sqrt{\frac{a_{4}}{a_{2}}} = \sqrt{\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{81}}} = \sqrt{\frac{1}{81}} = \frac{1}{9}$$ Třetí prvek teď vypočítáme pomocí druhého prvku a kvocientu $$a_{3} = a_{2}q = \frac{81}{2}\frac{1}{9} = \frac{9}{2} = 4,5$$ To znamená, že správná odpověď je B.
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 24
Příklad č. 24:
Jaký je obvod celého obrazce?
A) 1688 cm
B) 1735 cm
C) 1784 cm
D) 1886 cm
E) jiný obvod
Řešení:
Šířky jednotlivých obdélníků tvoří aritmetickou posloupnost s diferencí $d=2$. První člen této posloupnosti je $$a_{1} = 16$$ $n$-tý člen je $$a_{n} = 50$$ Pomocí vzorečku pro $n$-tý člen můžeme vypočítat čemu se rovná $n$ $$a_{n} = a_{1} + \left(n-1\right)d$$ Z této rovnice vyjádříme $n$ jako $$n = \frac{a_{n} - a_{1} + d}{d}$$ dosazením dostaneme $$n = \frac{50-16+2}{2} = 18$$ Pro výpočet šířky celého obrazce použijeme vzoreček pro součet $n$ členů aritmetické posloupnosti $$S_{n} = \frac{n}{2}\left(a_{1} + a_{n}\right)$$ Dosazením do posledního vzorečku dostaneme $$S_{n} = \frac{18}{2}\left(16 + 50\right) = 594$$ Podobným způsobem sečteme také délku všech "stříšek", víme že se jedná o rovnostranné trojúhelníky, takže délka nejmenší stříšky bude $a_{1} = 2\cdot 16 = 32$ a délka největší stříšky bude $a_{n} = 2\cdot 50 = 100$, je to tedy taky aritmetická posloupnost, která má stejný počet prvků jako ta první a pro součet jejích členů dostaneme $$S_{n} = \frac{18}{2}\left(32+100\right) = 1188$$ Abychom dostali obvod celého obrazce, musíme sečíst šířku celého obrazce, délku všech stříšek a dvakrát délku obdélníku (abychom započítali i obvod po stranách). Celkem tedy dostaneme $$O = 594 + 1188 + 2\cdot 52 = 1866 \, cm$$
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 25

Ze skupiny 10 dětí se vybírá tříčlenná skupina. Mezi dětmi je jediný Adam a jediná Bohunka. Vybraná skupina musí splňovat ještě některou z dalších stanovených podmínek.

Příklad č. 25:
Pro každou z následujících podmínek (25.1-25.4) určete, kolika způsoby (A-F) je možné tříčlennou skupinu vybrat.
25.1:
Ve skupině není Adam ani Bohunka.
Řešení:
Pokud ve skupině nemá být ani Adam ani Bohunka, tak to znamená, že budeme vybírat pouze z osmi dětí. Vybíráme tedy tří člené skupiny, ve kterých nezáleží na pořadí a jedná se o kombinace třetí třídy z osmi prvků. Počet skupin určíme pomocí vzorečku pro kombinace $$K_{k}\left(n\right) = {n\choose k} = \frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$$ $$K_{3}\left(8\right) = {8\choose 3} = \frac{8!}{3!\left(8-3\right)!} = \frac{8!}{3!\cdot5!} = \frac{8\cdot7\cdot6\cdot5!}{3\cdot2\cdot5!} = 8\cdot7=56$$

25.2:
Ve skupině je Adam i Bohunka.
Řešení:
Pokud je ve skupině Adam i Bohunka, tak to znamená, že už ve skupině máme dvě děti a zajímá nás tedy počet možností, kterými můžeme vybrat to zbývající třetí dítě. Vybírat budeme opět z osmi dětí, protože dvě jsme už vybrali $$K_{1}\left(8\right)={8\choose 1}=8$$

25.3:
Ve skupině je Adam, ale není v ní Bohunka.
Řešení:
Bohunku dáme stranou, Adam je ve skupině a budeme tedy vybírat zbývající dvě děti z osmi dětí. Máme tedy kombinace druhé třídy z osmi prvků $$K_{2}\left(8\right) = {8\choose 2} = \frac{8!}{2!\left(8-2\right)!} = \frac{8\cdot7\cdot6!}{2\cdot6!} = 28$$

25.4:
Ve skupině je Adam.
Řešení:
Budeme vybírat dvě děti z devíti dětí $$K_{2}\left(9\right) = {9\choose 2} = \frac{9!}{2!\left(9-2\right)!} = \frac{9\cdot8\cdot7!}{2\cdot7!} = 36$$

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 26
Příklad č. 26:
Přiřaďte ke každému trojúhelníku (26.1-26.3) určenému trojicí veličin délku strany $x$ (A-E).
Řešení 26.1:
Trojúhelník je pravoúhlý a k výpočtu strany můžeme použít goniometrickou funkci kosinus. Pro kosinus platí $$\cos\alpha = \frac{3}{x}$$ Z toho si můžeme stranu vyjádřit $$x = \frac{3}{\cos\alpha}$$ Dosazením za úhel $\alpha$ dostaneme $$x = \frac{3}{\cos 60} = \frac{3}{\frac{1}{2}} = 3\cdot 2 = 6\,cm$$

Řešení 26.2:
Součet úhlů v trojúhelníku musí být dohromady 180°, to znamená, že třetí úhel má velikost $180 - 120 - 30 = 30°$. V trojúhelníku jsou tedy dva stejné úhly a trojúhelník je tím pádem rovnoramenný. Obě ramena přilehlá k úhlu 120° mají stejnou délku a tím pádem je $$x = 5\,cm$$

Řešení 26.3:
Známe délku dvou stran a úhel mezi nimi, k výpočtu třetí strany můžeme použít kosinovou větu $$x^{2} = a^{2} + b^{2} -2 a\cdot b\cdot \cos\gamma$$ Dosazením do vzorečku dostaneme $$x^{2} = 36 + 49 - 2\cdot 42\cdot \cos 60 = 43$$ Délku strany $x$ získáme odmocněním předchozího výsledku $$x = \sqrt{43} > 6$$