E-Academia
facebook Jsme na facebooku Přihlásit se | Registrovat se

Zápis na všechny kurzy, přednášky a testy je od 1.3.2017 zcela ZDARMA!

Řešené úlohy z integrálního počtu - substituční metoda II


V minulém článku jsme si na jednom příkladě ukázali, jak se používá substituční metoda pro integrování funkcí. V tomto článku navážeme na ten předchozí a podíváme se na další typické úlohy.

Publikováno 6.11.2014

Řešené úlohy

Příklad č. 2:

Vypočítejte integrál $$\int 4x^{3} e^{x^{4}} \,{\rm d}x.$$

Řešení:


V tomto příkladě si můžeme všimnout, že v exponenciále nám vystupuje výraz $x^{4}$ a když ho zderivujeme, tak dostaneme $4x^{3}$, což je přesně funkce, která v našem integrálu exponenciálu násobí. Bude tedy výhodné za $x^{4}$ zavést substituci, $$x^{4} = t.$$ Abychom substituci mohli použít, tak ji ještě zderivujeme $$4x^{3}\,{\rm d}x = {\rm d}t.$$ Nyní můžeme vše dosadit do původního integrálu a přepsat ho tak do tvaru $$\int 4x^{3} e^{x^{4}} \,{\rm d}x = \int e^{t} \,{\rm d}t.$$ Vidíme, že po použití substituce jsme dostali integrál, ve kterém se integruje přes novou proměnnou $t$, tento integrál je jednodušší než byl ten původní a můžeme ho snadno vypočítat, $$\int 4x^{3} e^{x^{4}} \,{\rm d}x = \int e^{t} \,{\rm d}t = e^{t} + C.$$ Nesmíme ale zapomenout do výsledku dosadit zpět původní proměnnou $x$ z naší substituce $$\int 4x^{3} e^{x^{4}} \,{\rm d}x = \int e^{t} \,{\rm d}t = e^{t} + C = e^{x^{4}} + C.$$

Příklad č. 3:

Vypočítejte integrál $$\int x^{4}\sqrt{x^{5}-2} \,{\rm d}x.$$

Řešení:


V tomto příkladě budeme postupovat podobně, jako v tom předchozím. Pokusíme se zavést substituci takovým způsobem, aby nám v integálu vystupovala také derivace výrazu, za který substituci zavádíme. Můžeme například vyzkoušet zavést substituci za výraz, který vystupuje v odmocnině, $$x^{5}-2 = t.$$ Zderivováním dostaneme $$5x^{4} \,{\rm d}x = {\rm d}t.$$ V původním integrálu je odmocnina násobená výrazem $x^{4}$, my jsme ale derivací substituce dostali výraz $5x^{4}$. To můžeme ale lehce vyřešit tak, že $x^{4}$ v integrálu vynásobíme pěti a současně celý integrál pěti vydělíme, jinými slovy ho rozšíříme jedničkou, protože ho budeme násobit zlomkem $\frac{5}{5}$ a to je jedna. Můžeme si tedy integrál přepsat $$\int x^{4}\sqrt{x^{5}-2} \,{\rm d}x = \frac{1}{5}\int 5x^{4}\sqrt{x^{5}-2} \,{\rm d}x.$$ Teď už nám v integrálu vystupuje i derivace naší substituce a můžeme tedy integrál pomocí substituce přepsat $$\int x^{4}\sqrt{x^{5}-2} \,{\rm d}x = \frac{1}{5}\int 5x^{4}\sqrt{x^{5}-2} \,{\rm d}x = \frac{1}{5}\int\sqrt{t}\,{\rm d}t.$$ Po zavedení substituce tedy dostáváme integrál z mocninné funkce, který už je jednoduché vypočítat, $$\int x^{4}\sqrt{x^{5}-2} \,{\rm d}x = \frac{1}{5}\int 5x^{4}\sqrt{x^{5}-2} \,{\rm d}x = \frac{1}{5}\int\sqrt{t}\,{\rm d}t = \frac{1}{5}\int t^{\frac{1}{2}}\,{\rm d}t = \frac{1}{5}\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} + C.$$ Nyní ještě dosadíme za $t$ zpět $x^{5}-2$ a dostaneme výsledek $$\int x^{4}\sqrt{x^{5}-2} \,{\rm d}x = \frac{2}{15}\left(x^{5}-2\right)^{\frac{3}{2}} + C.$$

Vidíme tedy, že pokud nám v integrálu nevystupuje přímo derivace substituce, ale chybí nám tam nějaká konstanta, jako v tomto příkladě nám v integrálu chyběla pětka, můžeme celý integrál touto konstantou vynásobit, pokud ho současně tou samou konstantou vydělíme. Hodnotu integrálu nijak nezměníme, protože ho pouze násobíme jedičkou, pomůže nám to ale k tomu, abychom v integrálu dostali potřebný výraz a mohli efektivně použít naši substituci.

Příklad č. 4:

Vypočítejte integrál $$\int x\sin\left(2x^{2}+5\right)\,{\rm d}x.$$

Řešení:


Zavedeme substituci pro argument funkce sinus, tedy za $2x^{2}+5$, $$2x^{2}+5 = t,$$ zderivováním dostaneme $$4x\,{\rm d}x = {\rm d}t.$$ Docela by se nám hodilo mít v integrálu čtyřku, takže celý integrál rozšíříme výrazem $\frac{4}{4}$ a dostaneme $$\int x\sin\left(2x^{2}+5\right)\,{\rm d}x = \frac{1}{4}\int 4x\sin\left(2x^{2}+5\right)\,{\rm d}x.$$ Použitím naší substituce přepíšeme integrál do tvaru $$\int x\sin\left(2x^{2}+5\right)\,{\rm d}x = \frac{1}{4}\int 4x\sin\left(2x^{2}+5\right)\,{\rm d}x = \frac{1}{4}\int\sin t \, {\rm d}t.$$ Funkci $\sin t$ už umíme zintegrovat a můžeme tedy naspat výsledek $$\int x\sin\left(2x^{2}+5\right)\,{\rm d}x = \frac{1}{4}\int\sin t \, {\rm d}t = -\frac{1}{4}\cos t + C = -\frac{1}{4}\cos\left(2x^{2}+5\right) + C,$$ kde jsme ještě dosadili za $t$ zpět z naší substituce.

Příklad č. 5:

Vypočítejte integrál $$\int \frac{\ln x}{x\sqrt{1+\ln x}}\,{\rm d}x.$$

Řešení:


Zavedeme substituci za výraz v odmocnině, tedy $$1+\ln x = t.$$ Jako obvykle, substituci zderivujeme $$\frac{1}{x}\,{\rm d}x = {\rm d}t.$$ Dosazením substituce do integrálu dostaneme $$\int \frac{\ln x}{\sqrt{t}}\,{\rm d}t.$$ Vidíme, že po použití substituce nám v integrálu v čitateli stále vystupuje původní proměnná $x$. Vyjádříme si tedy ze substituce, čemu se rovná výraz $\ln x$, $$1+\ln x = t \quad\quad => \quad\quad \ln x = t-1.$$ Do čitatele integrálu tedy dosadíme místo $\ln x$ výraz $t-1$, abychom v integrálu měli pouze novou proměnnou. $$\int \frac{t-1}{\sqrt{t}}\,{\rm d}t.$$ Zlomek, který vystupuje v integrálu můžeme napsat jako rozdíl dvou zlomků a integrál se nám tak rozpadne na dva integrály $$\int \frac{t-1}{\sqrt{t}}\,{\rm d}t = \int \frac{t}{\sqrt{t}}\,{\rm d}t - \int \frac{1}{\sqrt{t}}\,{\rm d}t.$$ Zlomky můžeme ještě upravit $$\int \frac{t-1}{\sqrt{t}}\,{\rm d}t = \int \frac{t}{\sqrt{t}}\,{\rm d}t - \int \frac{1}{\sqrt{t}}\,{\rm d}t = \int t^{\frac{1}{2}}\,{\rm d}t - \int t^{-\frac{1}{2}}\,{\rm d}t.$$ A tím tedy dostáváme dva integrály z mocninné funkce, které už je snadné vypočítat $$\int \frac{t-1}{\sqrt{t}}\,{\rm d}t = \int t^{\frac{1}{2}}\,{\rm d}t - \int t^{-\frac{1}{2}}\,{\rm d}t = \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} - 2 t^{\frac{1}{2}} + C.$$ Na závěr ještě dosadíme za $t$ zpět ze substituce $$\int \frac{\ln x}{x\sqrt{1+\ln x}}\,{\rm d}x = \frac{2}{3}\left(1+\ln x\right)^{\frac{3}{2}} - 2\sqrt{1+\ln x} + C.$$

Příklad č. 6:

Vypočítejte integrál $$\int \sin 2x\,{\rm d}x.$$

Řešení:


Podobně jako v příkladě č. 4, zavedeme substituci za argument funkce sinus $$2x = t$$ a po zderivování dostaneme $$2{\rm d}x = {\rm d}t$$ Integrál rozšíříme výrazem $\frac{2}{2}$, aby se nám v něm objevila dvojka, která vystupuje ve zderivované substituci. Dostaneme tedy $$\int \sin 2x\,{\rm d}x = \frac{2}{2}\int \sin 2x\,{\rm d}x = \frac{1}{2}\int 2\sin 2x\,{\rm d}x$$ A teď už můžeme substituci do integrálu dosadit. Místo $2x$ budeme psát $t$ a místo $2{\rm d}x$ napíšeme ${\rm d}t$ $$\int \sin 2x\,{\rm d}x = \frac{2}{2}\int \sin 2x\,{\rm d}x = \frac{1}{2}\int 2\sin 2x\,{\rm d}x = \frac{1}{2}\int \sin t\,{\rm d}t$$ Po zintegrování funkce sinus dostaneme $$\int \sin 2x\,{\rm d}x = \frac{2}{2}\int \sin 2x\,{\rm d}x = \frac{1}{2}\int 2\sin 2x\,{\rm d}x = \frac{1}{2}\int \sin t\,{\rm d}t = -\frac{1}{2}\cos t+ C$$ A teď už stačí dosadit zpět do substituce a dostaneme výsledek $$\int \sin 2x\,{\rm d}x = -\frac{1}{2}\cos t+ C = -\frac{1}{2}\cos 2x + C. $$