E-Academia
facebook Jsme na facebooku Přihlásit se | Registrovat se

Zápis na všechny kurzy, přednášky a testy je od 1.3.2017 zcela ZDARMA!

Řešené úlohy z integrálního počtu - Integrály vedoucí na logaritmus


V dnešním článku se podíváme na to, jak poznáme integrál, jehož výsledkem bude logaritmus.

Publikováno 13.11.2014

Vysvětlení metody


Tato metoda je založena na jednoduchém vzorečku $$\int\frac{1}{x}\, {\rm d}x = \ln\left|x\right| + C.$$ Tento vzoreček se dá rozšířit pro případ, kdy je integrační proměnná ve jmenovateli vynásobená nějakou konstantou $a$ a je k ní přičtena nějaká další konstanta $b$, jinýmy slovy, pokud máme ve jmenovateli výraz typu $ax+b$ a současně máme v čitateli $a$, můžeme použít rozšířenou variantu původního vzorečku:


$$\int\frac{a}{ax+b}\, {\rm d}x = \ln\left|ax+b\right| + C.$$

Tento vzoreček se dá z toho prvního odvodit, pokud použijeme substituci $$ax+b=t,$$ zderivováním substituce dostaneme $$a\,{\rm d}x = {\rm d}t.$$ Použitím této substituce můžeme integrál v rámečku přepsat $$\int\frac{a}{ax+b} \, {\rm d}x= \int\frac{1}{t}\, {\rm d}t $$ a k jeho vypočítáni už teď můžeme použít ten první jednoduchý vzoreček $$\int\frac{a}{ax+b} \, {\rm d}x= \int\frac{1}{t}\, {\rm d}t = \ln\left|t\right| + C =\ln\left|ax+b\right| + C.$$ My teď můžeme jít ještě o krok dále a podívat se pozorně na ten vzoreček, který jsme si zarámovali. Pro ten zlomek, který v tom integrálu vystupuje totiž platí, že jeho čitatel, je přesně roven derivaci jmenovatele. Díky tomu tento vzoreček můžeme dále zobecnit a napsat ho ve tvaru $$\int\frac{f\left(x\right)' }{f\left(x\right)}\, {\rm d}x = \ln\left|f\left(x\right)\right| + C.$$ To znamená, že pokud budeme mít v integrálu zlomek, kde v čitateli vystupuje derivace jmenovatele, tak výsledek integrace je logaritmus výrazu, který vystupuje ve jmenovateli. Samozřejmě tento vzoreček bude platit pouze pokud se $f$ nerovná nule, protože pokud by se nule rovnalo, tak bychom měli nulu ve jmenovateli zlomku a také v argumentu logaritmu a to nechceme. Podobně také pro vzoreček, který máme v rámečku, platí podmínka, že $ax+b$ se nesmí rovnat nule.

Řešené úlohy

Příklad č. 1:

Vypočítejte integrál $$\int \frac{2}{3x+7} \,{\rm d}x.$$

Řešení:


K výpočtu tohoto integrálu použijeme vzoreček, který jsme si zarámovali. Když se na tento vzoreček podíváme, tak vidíme, že ve zlomku, který vystupuje v integrálu, je v čitateli číslo $a$, což je stejné číslo, kterým je násobená integrační proměnná ve jmenovateli. V našem příkladě, který budeme počítat, tomu tak ale není. V čitateli máme dvojku zatímco proměnná $x$ je ve jmenovateli násobená číslem 3. My ten integrál ale můžeme lehce upravit do toho tvaru, který potřebujeme. Jednoduše vytkneme dvojku z čitatele před integrál a celý integrál rozšíříme výrazem $\frac{3}{3}$ $$\int \frac{2}{3x+7} \,{\rm d}x = 2\int\frac{1}{3x+7}\,{\rm d}x = 2\frac{3}{3}\int\frac{1}{3x+7}\,{\rm d}x = \frac{2}{3}\int\frac{3}{3x+7}\,{\rm d}x.$$ Tím jsme tedy převedli integrál do požadovaného tvaru - v čitateli už máme trojku, tak jak jsme to potřebovali. Platí tedy, že čitatel je derivací jmenovatele. Teď už můžeme přímo použít náš vzoreček a dostaneme $$\int \frac{2}{3x+7} \,{\rm d}x = \frac{2}{3}\int\frac{3}{3x+7}\,{\rm d}x = \frac{2}{3}\ln\left|3x+7\right|+C.$$

V tomto příkladě jsme použili trik, který se často používá, a to je rozšíření integrálu jedničkou (v našem případě se jednalo o výraz $\frac{3}{3}$), tím se nám podařilo dostat do čitatele zlomku potřebné číslo a mohli jsme následně výpočítat integrál pomocí našeho vzorečku.